Urodził się w Zgierzu 6 listopada 1902 roku, według przekazów rodzinnych w 1916 roku wraz z młodzieżą szkolną pomagał w budowie kościoła p.w. św. Katarzyny. Pod koniec wojny polsko-bolszewickiej wstąpił do wojska na ochotnika. Ukończył Szkołę Handlową w Zgierzu, od 1922 roku działał w lokalnym Związku Strzeleckim, a także w Towarzystwie Gimnastycznym "Sokół".
Trener lekkoatletyki w Klubie Sportowym "Boruta". Prowadzona przez Gazewskiego reprezentacja województwa łódzkiego zdobyła w 1936 roku brązowy medal podczas Mistrzostw Polski.
Przed wojną pracownik biurowy w zakładach "Boruta", zwolniony z pracy podczas okupacji zatrudnił się m.in. na tramwajach podmiejskich.
Po wojnie kontynuował działalność sportową - w zgierskim klubie "Włókniarz" trenował Zdzisława Jamę, jednego z najlepszych średniodystansowców lat 50.
Feliks Gazewski zmarł w lutym 1990 roku, pochowano go na cmentarzu przy ul. P. Skargi.
Biogram oparty na tekście Łukasza Zalewskiego "Zgierzanie - uczestnicy walk o niepodległość i granice 1914-1920 (1921)" opublikowanym w XII tomie "Zgierskich Zeszytów Regionalnych". Zeszyty dostępne są w Muzeum Miasta Zgierza oraz w księgarni "Pan Tadeusz".